MỞ ĐẦU
Hiện nay, mặt cực tiểu là đối tượng thu hút được rất nhiều sự quan tâm và
nghiên cứu trong hình học vi phân. Đặc biệt hơn, đó là các vấn đề liên quan đến
mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ. Thuật ngữ
minimal surfaces được dùng để chỉ các mặt có độ cong trung bình bằng không còn
thuật ngữ area-minimizing surfaces lại được dùng để chỉ các mặt có diện tích nhỏ
nhất trong lớp các mặt cùng biên đồng đều hay dưới những sự biến dạng compact,
bảo toàn thể tích cho trước. Người ta đã chỉ ra rằng các mặt cực tiểu diện tích có
rất nhiều tính chất thú vị. Ví dụ như trong không gian R
3
mặt có diện tích nhỏ
nhất với biên là một đường cong cho trước có độ cong trung bình bằng không hay
mặt có diện tích nhỏ nhất ứng với một thể tích cho trước bất kì có độ cong trung
bình là hằng số . . Bên cạnh đó, các phương pháp được dùng để tìm và chứng
minh một mặt là cực tiểu diện tích cũng đang rất thu hút rất nhiều sự quan tâm,
đặc biệt là phương pháp dạng cỡ và phương pháp biến phân.
Chúng ta đã biết không gian với mật độ là không gian được trang bị một
hàm dương gọi là hàm mật độ được dùng làm trọng số cho cả thể tích và chu vi.
Khi chuyển từ không gian thông thường sang nghiên cứu không gian với mật độ,
một câu hỏi luôn được đặt ra, là: Liệu rằng các kết quả, các tính chất trong không
gian thông thường có còn đúng với không gian với mật độ nữa không?
Với mong muốn được tìm hiểu và trả lời những câu hỏi đó, dưới sự hướng
dẫn và giúp đỡ của Thầy giáo, PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu, tôi đã chọn đề tài: "Mặt
cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
".
Nội dung chính của khóa luận gồm có ba chương.
Chương I trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu trong không
gian R
3
với mật độ e
r
2
như mặt có độ cong trung bình hằng, điều kiện để các mặt
tròn xoay, mặt tịnh tiến, mặt kẻ, . . . là mặt cực tiểu và một số mặt cực tiểu đại
số. Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích
của một mặt tham số chính quy trong R
3
và trong R
3
với mật độ.
Chương II trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu diện tích trong
không gian R
3
. Cụ thể đó là biến phân thứ hai của phiếm hàm diện tích của một
mặt tham số chính quy, phương pháp dạng cỡ và một số ví dụ về mặt định cỡ.
3
Chương III trình bày mặt cực tiểu diện tích trong không gian R
3
với mật độ
e
r
2
. Cụ thể chúng tôi trình bày phương pháp dạng cỡ và phương pháp biến phân
dùng để chứng minh một mặt là cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ.
Cuối cùng là một số kết quả về mặt cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên
đồng đều và các mặt cực tiểu diện tích ứng với một thể tích cho trước bất kì.
Thông qua khóa luận, tác giả hi vọng người đọc sẽ phát hiện ra một vài điều
lí thú và bổ ích.
Thân mến!
4
Chương 1
MẶT CỰC TIỂU TRONG KHÔNG GIAN
R
3
VỚI MẬT ĐỘ e
r
2
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu trong
không gian R
3
và không gian R
3
với mật độ e
r
2
. Cụ thể đó là một số mặt cực tiểu cổ điển
trong không gian R
3
và sự phù hợp tương ứng giữa độ cong trung bình của mặt cực tiểu với
biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích. Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày một số kết quả
cũng như điều kiện để các mặt tịnh tiến, mặt kẻ, mặt tròn xoay là mặt cực tiểu trong không
gian R
3
với mật độ e
r
2
.
1.1 Không gian R
3
với mật độ e
ϕ
- Độ cong trung
bình theo mật độ
Hàm mật độ trong R
3
là một hàm dương, khả vi thường được viết dưới dạng
e
ϕ
: R
3
−→ R
(x, y, z) −→ e
ϕ(x,y,z)
.
Không gian với mật độ e
ϕ
là không gian được trang bị hàm mật độ e
ϕ
dùng làm
trọng số cho cả thể tích và chu vi. Cụ thể nếu dV và dP là các phần tử của thể
tích và chu vi trong R
3
thì phần tử thể tích và chu vi trong R
3
với mật độ e
ϕ
được
cho bởi công thức
dV
ϕ
= e
ϕ
dV,
dP
ϕ
= e
ϕ
dP.
Trong không gian R
3
với mật độ e
ϕ
, độ cong trung bình theo mật độ, kí hiệu là
H
ϕ
, của mặt S được định nghĩa như sau
H
ϕ
= H −
1
2
dϕ
dN
,
5
với H là độ cong trung bình và N là trường pháp vector đơn vị của mặt S. Vì
dϕ
dN
= ϕ
x
cos(
−→
Ox, N) + ϕ
y
cos(
−→
Oy, N) + ϕ
z
cos(
−→
Oz, N) nên ta có thể viết lại công
thức tính H
ϕ
như sau
H
ϕ
= H −
1
2
∇ϕ, N
=
1
2
(k
1
+ k
2
− ∇ϕ, N)
với ∇ϕ = (ϕ
x
, ϕ
y
, ϕ
z
) và k
1
, k
2
là các độ cong chính của mặt S.
1.2 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích
Trong phần này chúng tôi trình bày biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện
tích của một mặt tham số chính quy trong không gian R
3
và trong không gian R
3
với mật độ bằng cách sử dụng biến phân chuẩn tắc. Từ đó làm cơ sở nêu lên mối
liên hệ giữa một mặt cực tiểu với biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích
cũng như trong chương II nêu lên điều kiện cần để một mặt là cực tiểu diện tích
trong tất cả các mặt có cùng biên.
Trước khi giới thiệu biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích của một mặt
chính quy chúng ta có định nghĩa phần tử diện tích và biến phân chuẩn tắc như
sau
Định nghĩa 1.2.1. (Phần tử diện tích)
Cho S là một mặt chính quy, R ⊂ S là một miền bị chặn chứa trong lân cận tọa
độ xác định bởi tham số X : U ⊂ R
2
−→ S (với U là miền mở liên thông với bao
đóng compact và biên trơn trong R
2
). Khi đó với Q = X
−1
(R), số dương
A(R) =
Q
|X
u
∧ X
v
|dudv
được gọi là diện tích của miền R.
Tương tự, diện tích của miền R trong không gian R
3
với mật độ e
ϕ
được định
nghĩa là
A
ϕ
(R) =
Q
e
ϕ
|X
u
∧ X
v
|dudv.
Vì |X
u
∧ X
v
|
2
+X
u
, X
v
2
= |X
u
|
2
|X
v
|
2
nên ta cũng có thể tính diện tích của R
như sau
A(R) =
Q
EG − F
2
dudv
6
và
A
ϕ
(R) =
Q
e
ϕ
EG − F
2
dudv
với E, F, G là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của X.
Định nghĩa 1.2.2. (Biến phân chuẩn tắc)
Cho X : Ω −→ R
3
là một mặt tham số chính quy, D ⊂ Ω là miền bị chặn và
h : D −→ R là một hàm khả vi. Ta gọi một biến phân chuẩn tắc của X(D) xác
định bởi h là ánh xạ
ϕ : D × (−ε, ε) −→ R
3
ϕ(u, v, t) = X(u, v) + th(u, v)N(u, v), (u, v) ∈ D, t ∈ (−ε, ε).
Khi đó với mỗi t xác định, ánh xạ
X
t
: D −→ R
3
X
t
(u, v) = ϕ(u, v, t)
là một mặt tham số.
Hình 1.1: Các biến phân chuẩn tắc của X(u, v)
1.2.1 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích trong không gian
R
3
Xét mặt chính quy S với tham số hóa X : Ω ⊂ R
2
−→ S, D ⊂ Ω và một biến
phân chuẩn tắc X
t
của X(D). Ta có
X
t
u
= X
u
+ thN
u
+ th
u
N,
X
t
v
= X
v
+ thN
v
+ th
v
N.
Kí hiệu E
t
, F
t
, G
t
là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của X
t
, ta có
E
t
= E + 2thX
u
, N
u
+ t
2
h
2
N
2
u
+ t
2
h
2
u
,
F
t
= F + 2thX
u
, N
v
+ t
2
h
2
N
u
, N
v
+ t
2
h
u
h
v
,
7
G
t
= G + 2thX
v
, N
v
+ t
2
h
2
N
2
v
+ t
2
h
2
v
,
với X
u
, N
u
= −e,X
u
, N
v
= X
v
, N
u
= −f,X
v
, N
v
= −g và 2H(EG−F
2
) =
Eg − 2F f + Ge. Khi đó
E
t
G
t
− (F
t
)
2
= (EG − F
2
) − 2th(Eg − 2F f + Ge) + R(t)
= (EG − F
2
)(1 − 4thH) + R(t)
= (EG − F
2
)(1 − 4thH + R(t)),
với R(t) là một đa thức theo t, bậc ≥ 2 và R(t) =
R(t)
EG−F
2
.
Với ε đủ nhỏ thì X
t
là một mặt tham số chính quy. Do đó diện tích của mặt
tham số X
t
A(t) =
D
E
t
G
t
− (F
t
)
2
dudv
=
D
1 − 4thH + R(t)
EG − F
2
dudv
=
D
1 − 4thH + R(t)dA.
Khi đó
A
(t) =
D
−4hH + R
(t)
2
1 − 4thH + R(t)
dA
được gọi là biến phân thứ nhất của hàm diện tích của mặt tham số chính quy X
t
.
Tại t = 0, ta có
A
(0) =
D
−2hHdA
được gọi là biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích của mặt tham số chính
quy X.
Từ đó ta có định lý nêu lên mối liên hệ giữa một mặt cực tiểu và biến phân thứ
nhất của phiếm hàm diện tích của mặt đó như sau
Định lý 1.2.1. [1] Cho X : Ω −→ R
3
là một mặt tham số chính quy, D ⊂ Ω là
miền bị chặn. Mặt tham số X là cực tiểu KCK A
(0) = 0 với mọi miền bị chặn D
và với mọi biến phân chuẩn tắc của X(D).
8
Chứng minh. Nếu X là mặt cực tiểu thì H = 0. Do đó A
(0) = 0.
Ngược lại, giả sử A
(0) = 0 và ∃p ∈ D : H(p) = 0. Không mất tính tổng quát, ta
giả sử H(p) > 0. Chọn h : D −→ R sao cho h(p) > 0 và h đồng nhất bằng 0 ngoài
một lân cận đủ nhỏ của p. Khi đó A
(0) < 0 với biến phân xác định bởi h. Mâu
thuẫn.
1.2.2 Biến phân thứ nhất của hàm diện tích trong không gian R
3
với
mật độ e
ϕ(r)
Xét không gian R
3
với mật độ e
ϕ(r)
với r là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm.
Diện tích của mặt tham số X
t
trong không gian R
3
với mật độ e
ϕ(r)
là
A
ϕ
(t) =
D
dA
t
ϕ
=
D
e
ϕ
t
dA
t
=
D
e
ϕ
t
E
t
G
t
− (F
t
)
2
dudv
=
D
e
ϕ
t
1 − 4thH + R(t)
EG − F
2
dudv
=
D
e
ϕ
t
1 − 4thH + R(t)dA.
Khi đó A
ϕ
(t) =
=
D
(e
ϕ
t
)
1 − 4thH + R(t)dA +
D
e
ϕ
t
1 − 4thH + R(t)
dA
=
D
e
ϕ
t
(ϕ
t
)
1 − 4thH + R(t)dA +
D
e
ϕ
t
1 − 4thH + R(t)
dA
=
D
e
ϕ
t
(ϕ
x
x
t
+ ϕ
y
y
t
+ ϕ
z
z
t
)
1 − 4thH + R(t)dA +
D
e
ϕ
t
1 − 4thH + R(t)
dA
=
D
e
ϕ
t
h∇ϕ
t
, N
1 − 4thH + R(t)dA +
D
e
ϕ
t
(−4hH + R
(t))
2
1 − 4thH + R(t)
dA
chính là biến phân thứ nhất của hàm diện tích của mặt tham số X
t
trong không
gian R
3
với mật độ e
ϕ
t
(r)
.
9
Và
A
ϕ
(0) =
D
e
ϕ
h∇ϕ, NdA +
D
e
ϕ
(−2hH)dA
= −
D
2h(H −
1
2
∇ϕ, N)e
ϕ
dA
= −
D
2hH
ϕ
dA
ϕ
chính là biến phân thứ nhất của hàm diện tích của mặt tham số chính quy X trong
không gian R
3
với mật độ e
ϕ(r)
.
Nhận xét 1.2.1. Nếu S là mặt cực tiểu với mật độ thì A
ϕ
(0) = 0.
1.3 Mặt cực tiểu trong không gian R
3
với mật độ
e
r
2
Trước khi đi vào tìm hiểu các mặt cực tiểu trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
,
chúng tôi trình bày định nghĩa mặt cực tiểu trong không gian với mật độ, định
nghĩa mặt tròn xoay, mặt kẻ và mặt tịnh tiến. Đồng thời, chúng tôi cũng xin giới
thiệu một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R
3
.
Định nghĩa 1.3.1. (Mặt cực tiểu trong không gian với mật độ)
Một mặt chính qui là mặt cực tiểu với mật độ nếu độ cong trung bình theo mật
độ của nó tại mọi điểm đều bằng không.
Định nghĩa 1.3.2. (Mặt tròn xoay)
Cho C là một đường cong chính qui trong mặp phẳng xz và không cắt trục z.
Quay C quanh trục z ta nhận được một tập S ⊂ R
3
. Giả sử
x = f(u), z = g(u) với a < u < b, f(u) > 0
là một tham số hóa của C và v là góc quay quanh trục z. Như vậy tham số hóa
của mặt S là
X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u))
xác định trên tập U = {(u, v) ∈ R
2
: 0 < v < 2π, a < u < b} vào S.
Mặt S như vậy được gọi là mặt tròn xoay, đường cong C được gọi là đường sinh,
trục z được gọi là trục quay.
10
Định nghĩa 1.3.3. (Mặt kẻ)
Cho I ⊂ R
3
là một khoảng mở; α, β : I −→ R
3
là hai hàm số khả vi đến cấp cần
thiết, α
(u) = 0, β(u) = 0 ∀u ∈ I. Ta xem α(u) như là một điểm, β(u) như là một
vector trong R
3
. Lúc đó mặt tham số được cho bởi
X(u, v) = α(u) + vβ(u), u ∈ I, v ∈ R
được gọi là mặt kẻ sinh bởi α và β.
Đường cong α(u) được gọi là đường chuẩn của mặt kẻ. Với mỗi u ∈ I, đường
thẳng đi qua điểm α(u) và nhận β(u) làm vector chỉ phương được gọi là một đường
sinh của mặt kẻ.
Nhận xét 1.3.1. Ta luôn có thể chọn α(u) là đường cong trực giao với họ các đường
thẳng của mặt S, β(u) là trường vector đơn vị dọc α và là vector chỉ phương của
các đường thẳng đi qua α(u) đồng thời giả sử u là tham số hóa độ dài cung của
α. Do đó luôn giả thiết được rằng một mặt kẻ bất kì trong R
3
có tham số hóa
X(u, v) = α(u) + vβ(u), u ∈ I, v ∈ R
với |α
(u)| = 1, |β(u)| = 1 và α
(u) ⊥ β(u) ∀u ∈ I.
Định nghĩa 1.3.4. (Mặt tịnh tiến)
Mặt tịnh tiến là mặt có tham số hóa dạng
X(u, v) = (u, v, f(u) + h(v))
với f, h là các hàm khả vi.
1.3.1 Một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R
3
Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu một số mặt cực tiểu cổ điển khá nổi tiếng trong
không gian R
3
. Đó là
1. Mặt phẳng.
2. Mặt catenoid xác định bởi tham số
X(u, v) = (a cosh u cos v, a cosh u sin v, au),
với 0 < v < 2π,−∞ < u < +∞, a > 0, là mặt tròn xoay cực tiểu duy nhất
khác mặt phẳng.
11
Hình 1.2: Mặt catenoid
3. Mặt helicoid xác định bởi tham số
X(u, v) = (a sinh u cos v, a sinh u sin v, av),
với 0 < v < 2π,−∞ < u < +∞, a > 0 hoặc
X(u, v) = (au cos v, au sin v, av),
với a > 0, 0 < v < 2π,−∞ < u < +∞,
là mặt kẻ cực tiểu duy nhất khác mặt phẳng.
Hình 1.3: Mặt helicoid
4. Mặt scherk xác định bởi tham số hóa
X(u, v) = (u, v,
1
a
ln
cos av
cos au
), a = 0
là mặt tịnh tiến cực tiểu duy nhất khác mặt phẳng.
12
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét